Часть II. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

Глава 5. Предел последовательности

5.1. ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

Определение

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие действительное число x_n, то множество действительных чисел x₁, x₂, ..., x_n называется последовательностью и обозначается {x_n}.

Числа x₁, x₂, ..., x_n называются элементами числовой последователь-

ности.

Число x_n - общий член последовательности, с помощью которого можно найти любой член последовательности.

Пример 5.1. Последовательность задана формулой x_n = 1/n. Найти

элементы последовательности.

Решение. Задавая последовательно n значений натуральных чисел, получим элементы числовой последовательности

ᐊ

Пример 5.2. Найти последовательность чисел, заданную формулой

Решение.

ᐊ

Пример 5.3. Найти последовательность чисел, заданную формулой x_n = n³.

Решение.

{x_n} = {1, 8, 27, 64, ..., n³}. ᐊ

Из приведенных примеров видно, что в первом из них с увеличением n значения последовательности стремятся к нулю, во втором примере - к единице, а в третьем - к бесконечности. В связи с этим все последовательности делятся на ограниченные и неограниченные.

Последовательность {x_n} считается ограниченной, если существует такое число M > 0, что с некоторого числа n ∈ N выполняется неравенство |x_n | ≤ M.

Если |x_n| > M, то последовательность называется неограниченной.

5.2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

По аналогии с пределом функции (см. разд. 1.5) введем определение предела последовательности.

Определение

Пределом последовательности {x_n} называется число A, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε существует такой номер N, что для всех номеров n > N выполняется неравенство |x_n - A| < ε.

Предел последовательности A обозначается: