Глава 7. Множества
7.1. ЭЛЕМЕНТЫ И МНОЖЕСТВА
В данном разделе для сокращенной записи будем использовать следующие символы:
- a ∈ A - a является элементом множества A;
- a ∉ A - a не является элементом множества A;
- ∅ - пустое множество;
- {a, d, c} - множество, состоящее из трех элементов a, d и c;
- {x | P(x)} - множество, состоящее из таких элементов x, для которых истинно утверждение P(x);
- A ∪ B - объединение множеств A и B;
- A ∩ B - пересечение множеств A и B;
- A ⊂ B - A является подмножеством B;
- A\B - разность множеств A и B;
- Ā - дополнение множества A до универсального множества;
- U - универсальное множество.
7.2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
В тех случаях, когда невозможно дать четкого определения какому-либо предмету или явлению, люди пользуются понятиями. Основные понятия не определяются. У каждого из нас существуют интуитивные представления о них, основанные на личном опыте.
Введем понятие множества. Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
О множестве известно, что оно состоит из элементов. Например, множество студентов определенного колледжа, множество симптомов заболевания, множество слушателей в аудитории и т. п.
Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, ..., с индексами или без них. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c, ... , y, z в случае, если речь идет о множестве вообще, или же за ними сохраняют конкретные обозначения. Принадлежность элемента a к множеству N записывается так: a ∈ N (читается «a принадлежит N»). Непринадлежность элемента b к множеству N обозначается b ∉ N (читается «b не принадлежит N»).
Назовем способы задания множеств.
- Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение - список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: