Статистическая гипотеза – выдвинутое предположение о виде распределения и свойствах случайной величины, которое можно подтвердить или опровергнуть применением статистических методов к данным, содержащимся в исследуемой выборкеИвановский Р. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Основы, прикладные аспекты с примерами и задачами в среде Mathcad: учеб. пос. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 528 с..
Пусть в эксперименте доступна наблюдению случайная величина X, распределение которой P полностью или частично неизвестно. Тогда любое утверждение относительно P называется статистической гипотезой. Выше были представлены примеры базового статистического анализа веса пациентов с подтвержденным диагнозом anorexia, т.е. вес пациентов, участвовавших в эксперименте, представляет собой случайную величину Х. В разделе 1 было дано понятие о Гауссовом (нормальном) типе распределения данных. Предположение о том, что вес пациентов распределен по закону, близкому к нормальному (близко к рисунку 1), будет являться статистической гипотезой.
Гипотезы различают по виду предположений, содержащихся в них:
- Статистическая гипотеза, однозначно определяющая распределение P, то есть H: {P = P0}, где P0 – какой-то конкретный закон (например, вес пациентов во всех группах подчинен одному нормальному закону распределения), называется простой. H – гипотеза, принято различать нулевую гипотезу H0 (вес пациентов с подтвержденным диагнозом «анорексия» распределен нормальным образом) и альтернативную гипотезу H1 (вес пациентов с подтвержденным диагнозом «анорексия» распределен отличным от нормального закона распределения).
- Статистическая гипотеза, утверждающая принадлежность распределения P к некоторому семейству распределений, то есть вида H: {P ∈ ℘}, где ℘ – семейство распределений, называется сложнойВ рамках данных методических рекомендаций не рассматриваются варианты возникновения сложных статистических гипотез, материал приведен для справок..
На практике обычно требуется проверить какую-то конкретную и, как правило, простую гипотезу H0. Такую гипотезу принято называть нулевой. При этом параллельно рассматривается противоречащая ей гипотеза H1, называемая конкурирующей, или альтернативной (вес пациента принадлежит нормальному закону распределения – нулевая гипотеза, вес пациента не принадлежит нормальному закону распределения – альтернативная гипотеза). В таблице 5 представлены формулировки трех простых нулевых и альтернативных гипотез, которые будут встречаться в тексте методических рекомендаций при решении трех основных задач:
- Задача принадлежности данных к нормальному закону распределения.
- Задача сравнения данных, выделенных по какому-либо признаку в различные группы.
- Задача выявления статистической зависимости между переменными.
Таблица 5 – Общий вид стандартных формулировок простых нулевых и альтернативных гипотез для трех задач
| Тип решаемой задачи | H0 – нулевая гипотеза | H1 – альтернативная гипотеза |
| Принадлежность данных к нормальному закону распределения | Наблюдаемое распределение данных принадлежит к нормальному (Гауссову) закону распределения | Наблюдаемое распределение данных отлично от нормального (Гауссова) закона распределения |
| Различие в группах данных, выделенных по какому-либо признаку в разные группы | Две группы данных, выделенные по какому- либо признаку, статистически незначимо различаются между собой | Две группы данных, выделенные по какому-либо признаку, статистически значимо различаются между собой |
| Зависимость между двумя переменными | Зависимость между двумя переменными статистически незначима | Наблюдаемая зависимость между переменными статистически значима |
Выдвинутая гипотеза нуждается в проверке, которая осуществляется статистическими методами (посредством различных критериев), поэтому гипотезу называют статистической. Для проверки гипотезы используют критерии, позволяющие принять или опровергнуть выдвинутую гипотезу:
- Формулировка основной гипотезы H0 и конкурирующей гипотезы H1 (для примера см. таблицу 5).
- Задание уровня значимости αБолее подробно уровень статистической значимости, ошибки первого и второго рода рассмотрены в разделе 5 настоящих методических рекомендаций., на котором в дальнейшем и будет сделан вывод о справедливости гипотезы. Он равен вероятности допустить ошибку первого рода.
- Расчет статистики φ критерия такой, чтоДанный материал приведен как справочный и редко применяется на практике, только в том случае, когда вычисления по критерию проводятся посредством самостоятельно реализованного программного кода.:
- ее величина зависит от исходной выборки X = (X1…Xn): φ = φ (X1…Xn);
- по ее значению можно делать выводы об истинности гипотезы H0;
- статистика φ, как функция случайной величины X, также является случайной величиной и подчиняется определенному закону распределения.
- Построение критической области. Из области значений φ выделяется подмножество C таких значений, по которым можно судить о существенных расхождениях с предположением. Его размер выбирается таким образом, чтобы выполнялось равенство P(φ ∈ C)=α. Это множество C и называется критической областью, α – ошибка первого рода.
- Вывод об истинности гипотезы. Наблюдаемые значения выборки подставляются в статистику φ и по попаданию (или непопаданию) в критическую область C выносится решение об отвержении (или принятии) выдвинутой гипотезы H0.