5. ЗАДАНИЕ УРОВНЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЗНАЧИМОСТИ

В статистике величину (значение) переменной называют статистически значимой, если мала вероятность случайного возникновения этой или еще более крайних величин. Здесь под крайностью понимается степень отклонения тестовой статистики от нулевой гипотезы.

Разница между двумя выборками называется статистически значимой, если появление имеющихся данных было бы маловероятно при предположении, что эта разница отсутствует.

Популярными уровнями значимости (α-ошибка) являются 10 %, 5 %, 1 %, и 0,1 %.

Меньшие α-уровни дают большую уверенность в том, что уже установленная альтернативная гипотеза значима, но при этом есть больший риск не отвергнуть ложную нулевую (или отвергнуть истинную альтернативную) гипотезу (ошибка второго рода, или «ложноотрицательное решение», или β-ошибка), и таким образом меньшая статистическая мощность.

Ошибкой первого рода (α-ошибка – уровень значимости, ложноположительное заключение) – называют ситуацию, когда отвергнута верная нулевая гипотеза (об отсутствии связи между явлениями, группами данных или принадлежностью данных к какому-либо типу распределений).

Вычисление уровня значимости при моделировании и анализе данных может быть выполнено по уравнению (21)Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Методы обработки данных / пер. с англ. М.: Мир, 1980.:

, (21)

где k – минимальное количество измерений, выходящих за заданный доверительный интервал; n – общее число измерений исследуемой величины; p₁– вероятность возникновения измерения за пределами доверительного интервала.

Коэффициент Cⁱ_n – коэффициент биноминального распределения, рассчитывается, как (22):

, (22)

где i – моделируемое количество измерений, выходящих за заданный доверительный интервал; n – общее количество измерений в данных.

На практике существуют две основные проблемы при вычислении ошибки первого рода:

1. Вероятность возникновения измерения за пределами доверительного интервала не известна и должна быть исследована отдельно от основной исследуемой величины.
2. Определение доверительного интервала при заранее неизвестных типах распределений также не известно.

Пути решения данных проблем будут рассмотрены далее.

Ошибка второго рода (β-ошибка, ложноотрицательное заключение) – ситуация, когда принята неверная нулевая гипотезаСм.: https://ru.wikipedia.org/wiki/Ошибки_первого_и_второго_рода.. Популярными уровнями ошибки второго рода являются 30 %, 20 % и 10 %.

Вероятность ошибки второго рода определяется по уравнению (23):

, (23)

где p₂ – вероятность возникновения выброса внутри доверительного интервала.

Основные проблемы, возникающие при вычислении ошибки второго рода, такие же, как и в случае определения ошибки первого рода. Выбор α-уровня неизбежно требует компромисса между значимостью и мощностью и, следовательно, между вероятностями ошибок первого и второго рода.

Общая картина проблемы такова: даны выборка X из некоторого пространства Ω элементарных событий (например, список пациентов, прошедших обследование на выявление некоторого заболевания) X: {X ∈ Ω} и возможные значения в этой выборке некоторых переменных (функций от ω ∈ Ω, например – возраст пациента, интенсивность курения, количество часов физических упражнений и т.п.). Вероятностное распределение случайной величины X на Ω неизвестно и является главным объектом поиска.

Различные гипотезы соответствуют различным возможным вероятностным распределениям на пространстве Ω. Точный смысл термина «статистическая гипотеза» – набор утверждений, который содержит полное описание некоторого вероятностного распределенияСм.: https://ru.wikipedia.org/wiki/Статистическая_значимость..

Пример моделирования ошибки первого и второго рода на языке R

Для демонстрации понятий ошибки первого и второго рода проведем моделирование поведения распределений плотностей вероятностей. Предположим (это только предположение и является сугубо учебным примером, реальное распределение признака может иметь любой законРассмотрение методов определения наиболее близкого теоретического распределения выходит за рамки данных методических рекомендаций.), что распределение какого-то количественного показателя (признака) пациентов с положительным тестом на СПИД подчиняется нормальному закону распределения. Также предположим, что распределение какого-то количественного показателя (признака) пациентов старше 52 лет отлично от нормального закона распределения (предположим, что это отрицательное биноминальное распределение)Здесь и далее все графические построения будут проводиться с применением пакета ggplot2..

Листинг 14

library(“MASS”) #Подключаем библиотеку, содержащую исследуемые данные

library(“fitdistrplus”) #Подключаем библиотеку вычисления параметров # распределений по методу максимального правдоподобия

library(“ggplot2”) #Подключаем библиотеку графического представления данных

denNorm <- fitdist (Aids2$age, “norm”) #Вычисляем параметры нормального

# закона распределения

denNBinom <- fitdist (Aids2[Aids2$age>52,] $age, “nbinom”) #Вычисляем

# параметры отрицательного биноминального распределения

normDens <- dnorm (Aids2$age, mean = denNorm$estimate[1], sd = denNorm$estimate[2]) # Вычисляем функцию плотности