6. ПРОВЕРКА ДАННЫХ НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

6.7.1. Критерий Колмогорова–Смирнова

Тест Колмогорова–Смирнова относится к категории независящих от параметров распределения тестов для проверки равенства двух непрерывных или дискретных типов одномерных распределений и может быть использован для сравнения выборки с эталонным распределением вероятности. В большинстве случаев в качестве эталонной функции распределения при определении закона распределения выборки используется нормальное распределение, а эмпирическая функция распределения вычисляется по уравнению (35):

, (35)

где 1_(−∞,x](X_i) – индикаторная функция равна 1, если X_i ≤ x и равна 0 в противном случае.

В случае определения отклонения эмпирической функции распределения от эталонной критерий Колмогорова–Смирнова записывается как (36):

, (36)

где F_n(x) – эмпирическая функция распределения (35); F(x) – эталонная функция распределения.

Необходимо отметить, что минимальное количество исследований для применения теста Колмогорова–Смирнова составляет 3, а верхняя граница не определена (некоторые авторы рекомендуют применять данный тест при «больших» объемах выборки – не менее 50 исследований)Ядгаров М. Я., Кузовлев А. Н., Берикашвили Л. Б. [и др.]. Важность оценки закона распределения данных: теория и практическое руководство // Анестезиология и реаниматология. 2021. № 2. С. 136–142. DOI: 10.17116/anaesthesiology2021021136.. Также тест Колмогорова–Смирнова позволяет устанавливать наличие статистической значимости в различиях двух случайных величин, и часто используется наравне с тестом Манна–УитниСемке В. Я., Харитонов С. В. Сравнительная оценка эффективности когнитивно- поведенческой, рациональной и комбинированной (когнитивно-поведенческой и рациональной) психотерапии у больных личностными расстройствами // Сибирский вестник психиатрии и наркологии. 2011. № 2 (65).. На языке R тест Колмогорова–Смирнова может быть проведен с помощью функции ks.test() из пакета stats.

Пример применения критерия Колмогорова–Смирнова

Для демонстрации применения теста Колмогорова–Смирнова используем данные о среднем росте и весе женщин в Америке в возрасте от 30 до 39 лет, содержащиеся в наборе данных women пакета MASS.

Листинг 21

library(“MASS”) #Подключаем пакет MASS, содержащий набор данных women

heightWomen <- women$height # Вектор, содержащий средний рост женщин

weightWomen <- women$weight # Вектор, содержащий средний вес женщин

ks.test(heightWomen, “pnorm”) # Проверяем на принадлежность к нормальному

# закону распределения средний рост женщин

Exact one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: heightWomen

D = 1, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: two-sided

ks.test(weightWomen, “pnorm”) # Проверяем на принадлежность к нормальному

# закону распределения, средний вес женщин

Exact one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data: weightWomen

D = 1, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: two-sided

hist(heightWomen, breaks = 12 ,xlab = "Средний рост женщин, см",

ylab = "Количество женщин, чел",

main = "Гистограмма распределения среднего роста женщин в Америке в возрасте от 30 до 39 лет",

col = "blue")

hist(weightWomen, breaks = 12 ,xlab = "Средний вес женщин, кг",

ylab = "Количество женщин, чел",

main = "Гистограмма распределения среднего веса женщин в Америке в возрасте от 30 до 39 лет",

col = "blue")

На рисунке 28 представлены гистограммы распределения среднего веса и роста женщин в возрасте от 30 до 39 лет в Америке.

Рисунок 28 – Гистограмма распределения среднего роста (а) и веса (б) женщин в возрасте от 30 до 39 лет в Америке

Результаты теста Колмогорова–Смирнова показывают, что распределение среднего роста и веса женщин в возрасте от 30 до 39 лет в Америке не подчиняется нормальному закону (p-value < 2.2e-16). Гистограммы распределения визуально демонстрируют схожий результат.