6. ПРОВЕРКА ДАННЫХ НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Проверка данных на принадлежность к нормальному закону распределения является одним из ключевых шагов при проведении статистического анализа и дальнейшего построения моделей.

В настоящее время существует достаточно большое количество критериев, позволяющих сделать вывод о принадлежности распределения той или иной количественной переменной к нормальному (Гауссову) закону распределения. Рекомендованными метрологическими стандартами и работами ряда авторов являютсяГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятности от нормального распределения.^,Лемешко Б. Ю., Лемешко С. Б. Сравнительный анализ критериев проверки отклонения распределения от нормального закона // Метрология. 2005. № 2. С. 3–23:

• критерии асимметрии и эксцесса;
• критерий Жарка-Бера;
• критерий Дэ’Агустино;
• критерий Шапиро-Уилка;
• критерий Эппса-Палли.

Рассмотрим каждый из них подробнее.

6.1. Критерии асимметрии и эксцесса

Критерий асимметрии предназначен для проверки гипотезы о симметричности наблюдаемого закона. Статистический критерий имеет вид (24):

, (24)

где σ̂ ³ – среднее квадратическое отклонение в третьей степени; β̂₁ – коэффициент асимметрии; μ̂₃ – третий момент исследуемой случайной величины.

Общее описание моментов представляется, как (25):

, (25)

где J– равно трем для третьего момента и равно двум для второго момента; X̅ – определяется по уравнению (26):

, (26)

Нулевая гипотеза в данном случае выглядит как H₀: β₁ = 0. Альтернативная гипотеза H₁: β₁ > 0 (положительная асимметрия) или β₁ < 0 (отрицательная асимметрия).

Критерий проверки на эксцесс вычисляется по уравнению (27):

, (27)

Проверке подвергается нулевая гипотеза H₀: β̂₂= 3; альтернативная гипотеза H₁: β̂₁ > 3 (больший эксцесс) или β̂₁ < 3 (меньший эксцесс). Оба критерия применяются при условии, что количество наблюдений составляет значение от 8 до 5000.

На языке программирования R для фактических численных данных можно вычислить значение критерия асимметрии и эксцесса для реальных данных. С помощью функции skewness(x) библиотеки moments вычисляется значение критерия асимметрии, kurtosis(x) – функция для вычисления эксцесса, где x – вектор данных, для которых вычисляется критерий.

Пример расчета асимметрии и эксцесса

На примере анализа распределения возраста пациентов с положительным результатом теста на иммунодефицит рассмотрим вычисление эксцесса и асимметрии, а также интерпретацию полученных результатов.

Листинг 15

library(“MASS”) # Подключаем библиотеку, содержащую данные пациентов

install.packages("moments") # Устанавливаем библиотеку, содержащую функции вычисления эксцесса и асимметрии

library(“moments”) # Подключаем библиотеку, содержащую функции вычисления

# эксцесса и асимметрии

aidData <- Aids2$age # Создаем переменную <aidData>, содержащую возраст

# пациентов

assimData <- skewness(aidData) # Вычисляем асимметрию распределения

eksData <- kurtosis(aidData) # Вычисляем эксцесс распределения

hist (x = Aids2$age, break = 12, xlab= “Возраст выявления, полных лет”,

ylab = “Количество, чел”, main = “Выживаемость, заболевших СПИДом”,

col = “blue”) #Строим гистограмму распределения возраста пациентов с # с выявленным вирусом иммунодефицита

Результаты выполнения кода в листинге 15 представлены на рисунке 20 и в тексте под рисунком.

Рисунок 20 – Гистограмма распределения возраста пациентов с положительным результатом теста на вирус иммунодефицита

Продолжение листинга 15

>skewness(aidData) # результат вычисления коэффициента асимметрии

[1] 0.487489

>kurtosis(aidData) # результат вычисления коэффициента эксцесса

[1] 4.279771

Значение эксцесса превышает значение, равное 3, что свидетельствует о том, что распределение не подчиняется нормальному закону распределения, а положительное значение коэффициента асимметрии говорит о том, что центр симметрии смещен в сторону увеличения возраста пациента.