6. ПРОВЕРКА ДАННЫХ НА ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

6.3. Критерий Дэ’Агустино

Критерий Дэ’Агустино базируется на анализе отклонений средних величин в упорядоченной выборке X=x1, x2, …, xn и вычисляется по уравнению (29):

, (29)

где n – число значений в упорядоченной выборке; i – порядковый номер элемента в выборке; x̄ – среднее арифметическое значений в выборке.

На языке R критерий Дэ’Агустино вычисляется с помощью функции agostino.test(x) из библиотеки moments, где x – упорядоченная выборка значений.

Пример применения критерия Дэ’Агустино

Рассмотрим применение критерия Дэ’Агустино для проверки на нормальность возраста пациентов с выявленной меланомой.

Листинг 17

library(“MASS”) # Подключаем пакет MASS, содержащий данные Melanoma

library(“moments”) # Подключаем пакет moments, содержащий функцию теста

# Дэ’Агустино

dataAge <- Melanoma$age #Вектор, содержащий вес пациентов

agostino.test(dataAge)

D'Agostino skewness test

data: dataAge

skew = -0.29798, z = -1.76638, p-value = 0.07733

alternative hypothesis: data have a skewness

hist(dataAge, breaks = 12, xlab = "Возраст пациентов с меланомой, лет",

ylab = "Количество пациентов, чел",

main = "Распределение возраста пациентов с меланомой",

col="blue")

На рисунке 22 представлена гистограмма распределения возраста пациентов с подтвержденным диагнозом «меланома».

Рисунок 22 – Гистограмма распределения возраста пациентов с подтвержденным диагнозом «меланома»

Анализ результатов применения критерия Дэ’Агустино показывает: p-value = 0,07733> 0,05, что говорит о том, что распределение возрастов пациентов с подтвержденным диагнозом «меланома» подчиняется нормальному закону распределения. Визуальный анализ гистограммы распределения также свидетельствует об этом.

6.4. Критерий Шапиро–Уилка

Критерий Шапиро–УилкаShapiro S. S., Wilk M. B. An analysis of variance test for normality (complete samples) // Biometrika. 1965. № 52. P. 591–611.^,Shapiro S. S., Francia R. S. An appriximate analysis of variance test fo normality // J. Amer. Statist. Assoc. 1972. №337. P. 215–216. базируется на анализе линейной комбинации разностей порядковых статистик (под порядковой статистикой понимается упорядоченная по возрастанию выборка одинаково распределенных независимых случайных величин, и ее элементы занимают строго определенное место в ранжированной (упорядоченной по возрастанию) совокупности).

При построении статистики для вариационного ряда X₁ ≤ X₂ ≤ ⋯ ≤ X_n ,полученного по наблюдаемой выборке X₁, X₂, … , X_n, вычисляется величина (30)Более подробную информацию по выводу уравнений смотрите в оригинальных публикациях, приведенных выше.:

, (30)

где k – изменяется от 1 до , если n – четное число, или от 1 до , если n – нечетное число; a_k – поправочный коэффициентShapiro S. S., Wilk M. B. An analysis of variance test for normality (complete samples) // Biometrika. 1965. № 52. P. 591–611..

Статистический критерий вычисляется как (31):

, (31)

На языке программирования R данный тест реализуется посредством команды shapiro.test(x) (функция, выполняющая тест Шапиро–Уилка, содержится в пакете stats и подключается автоматически при загрузке RStudio), где x – вектор числовых данных, в отношении которых высказывается гипотеза о нормальном законе распределения числовой переменной; количество исследуемых значений в ряду n должно быть больше 3 и меньше или равно 5000.

В соответствии с требованиями стандартаГОСТ Р ИСО 5479-2002. Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятности от нормального распределения. применение данного критерия рекомендуется в случае, когда распределение является симметричным, т.е. критерий проверки на симметричность |β | < и критерий проверки на эксцесс β₂ < 3 или ассиметричное распределение |β | > . В противном случае рекомендуется применение критерия Эппса–Палли.

Пример применения критерия Шапиро–Уилка

Рассмотрим применение критерия Шапиро–Уилка для проверки принадлежности данных к нормальному закону распределения. Для примера используем данные по возрасту пациентов с подтвержденным диагнозом «меланома», содержащиеся в наборе данных Melanoma пакета MASS.

Листинг 18

library(“MASS”) # Подключаем пакет MASS, содержащий данные Melanoma

dataMale <- Melanoma[Melanoma$sex==1,]$age # Создаем вектор, содержащий

# возраст пациентов мужского пола

dataFemale <- Melanoma[Melanoma$sex==0,]$age # Создаем вектор, содержащий

# возраст пациентов женского пола

hist(dataMale, breaks=12 xlab = "Возраст пациентов с меланомой, лет",

ylab = "Количество пациентов, чел",

main = "Распределение возраста мужчин с диагнозом «меланома»",

сol="blue")

hist(dataFemale, breaks=12 xlab = "Возраст пациентов с меланомой, лет",

ylab = "Количество пациентов, чел",

main = "Распределение возраста женщин с диагнозом «меланома»",

col="blue")

shapiro.test(dataMale) # Применяем тест Шапиро–Уилка для анализа

# распределения возраста мужчин с диагнозом «меланома»

Shapiro-Wilk normality test

data: dataMale

W = 0.98757, p-value = 0.6442

shapiro.test(dataFemale) # Применение теста Шапиро–Уилка для анализа

# распределения возраста женщин с диагнозом «меланома»

Shapiro-Wilk normality test

data: dataFemale

W = 0.98663, p-value = 0.2553

На рисунке 23 представлены гистограммы распределения возраста пациентов мужского пола с подтвержденным диагнозом «меланома» и возраста пациентов женского пола с подтвержденным диагнозом «меланома».

Рисунок 23 – Гистограммы распределений возраста пациентов: а – мужского пола, с подтвержденным диагнозом «меланома»; б – женского пола, с подтвержденным диагнозом «меланома»

Анализ результатов теста Шапиро–Уилка показывает, что статистическая гипотеза о нормальном законе распределения возраста пациентов мужского пола выполняется, т.к. p-value = 0,6442 (при уровне статистической значимости, равном 0,05). Распределение возраста пациентов женского пола (рисунок 23б) также соответствует закону, близкому к нормальному, т. к. p-value = 0,2553 теста Шапиро–Уилка при уровне статистической значимости, равном 0,05.