2. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1.1. Выборочное среднее

2.1.1. Выборочное среднееКолмогоров А. Н. Избранные труды. Математика и механика. М.: Наука, 1985.

При проведении анализа данных первая величина, которую вычисляет исследователь – это выборочное среднее значение. В данных методических рекомендациях не рассматривается вопрос математически строгого представления средних величин, а представлены наиболее часто использующиеся на практике. Выборочная средняя величина вычисляется по уравнению (1):

, (1)

где N – количество исследований, вычисленное по одному параметру в наборе данных; X_i – фактическое значение усредняемой величины.

Она является обобщенной характеристикой в случае однородности данных, описывающей явления, имеющие одну и ту же размерность. Например, если врач проводит исследование веса или роста пациентов, возраст которых составляет 20 полных лет, то ему необходимо описать вес или рост всех пациентов в возрасте 20 полных лет. Для этих целей он будет использовать выборочное среднее значение. В случае данных, распределенных в соответствии с нормальным законом распределения, выборочное среднее значение будет соответствовать максимуму частоты встречаемости исследуемого значения, как представлено на рисунке 4.

Рисунок 4 – Выборочное среднее (зеленая вертикальная линия) для нормального закона распределенияСовпадает со значением, соответствующим максимуму частоты встречаемости признака или измеряемой величины в случае нормального закона распределения данных.

На языке программирования R выборочное среднее значение вычисляется с помощью функции mean() из пакета base.

В случае, если врачу необходимо более точно описать средний вес пациентов (например) в возрасте 20 лет с учетом их (например) роста, то для этих целей нужно использовать среднее взвешенное значение (2):

, (2)

где N – количество исследований, вычисленное по одному параметру в наборе данных; X_i – фактическое значение усредняемой величины; ω_i – вес i-го значения усредняемой величины в общей выборке.

В качестве весового коэффициента ω_i в этом случае будет выступать величина, описывающая рост i-го пациента в возрасте 20 лет. Средняя взвешенная величина выступает в качестве характеристики, описывающей совокупность явлений, имеющих одну и туже размерность с учетом влияния сторонних признаков (например, вес пациентов с учетом их роста).

На языке программирования R выборочное среднее значение вычисляется с помощью функции weighted.mean() из пакета base.

При исследованиях долей возникновения признака может возникнуть необходимость вычисления средней доли признака по отношению ко всем признакам. В этом случае среднее значение доли вычисляется как (3):

, (3)

где p – доля единиц, обладающих исследуемым признаком; q – доля единиц, не обладающих исследуемым признаком, равна 1-p.

Пример вычисления выборочного среднего и средневзвешенного на языке R

Для примера вычисления средних и средневзвешенных значений используем набор данных anorexia из пакета MASS. Вычислим среднее и средневзвешенное значение веса пациента. В качестве весового коэффициента (уравнение 2 и текст под ним) будем использовать долю пациентов в каждой группе.

Листинг 3

library(MASS) #Знак экранирования однострочных комментариев.Подключаем библиотеку, содержащую набор данных anorexia

#======================================================================

#Исследуем структуру набора данных

#======================================================================

str(anorexia)

#======================================================================

# Выводим структуру данных

#======================================================================

'data.frame': 72 obs. of 3 variables:

$ Treat : Factor w/ 3 levels "CBT","Cont","FT": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...

$ Prewt : num 80.7 89.4 91.8 74 78.1 88.3 87.3 75.1 80.6 78.4 ...

$ Postwt: num 80.2 80.1 86.4 86.3 76.1 78.1 75.1 86.7 73.5 84.6 ... #======================================================================

# Выводим заголовочную часть набора данных

#======================================================================

head(anorexia)

#======================================================================

# Выводим заголовочную часть файла

#======================================================================

Treat Prewt Postwt

1 Cont 80.7 80.2

2 Cont 89.4 80.1

3 Cont 91.8 86.4

4 Cont 74.0 86.3

5 Cont 78.1 76.1

6 Cont 88.3 78.1

#======================================================================

# Вычисляем выборочное среднее в контрольной группе пациентов до

# проведения лечения

#======================================================================

mean(anorexia[anorexia$Treat=="Cont", ]$Prewt)

#======================================================================

# результат вычисления среднего веса пациента в контрольной группе

#======================================================================

[1] 81.55769

#======================================================================

mean(anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt)

#======================================================================

# результат вычисления среднего веса пациента в группе с

# когнитивно-поведенческой терапией

#======================================================================

[1] 82.68966

#======================================================================

mean(anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt)

#======================================================================

# результат вычисления среднего веса пациента в группе с семейной терапией

#======================================================================

[1] 83.22941

#======================================================================

#Вычисление взвешенного среднего значения

#======================================================================

# Определяем количество пациентов в каждой группе и общее количество пациентов

numInCont <- lengthФункция length() предназначена для определения длины вектора, более подробно см. справку в RStudio - ?length.(anorexia[anorexia$Treat=="Cont",]$Prewt)

numInCBT <- length(anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt)

numInFT <- length(anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt)

numAll <- length(anorexia$Prewt)

#======================================================================

# Формируем вектор весов и вектор данных

# В данном примере в качестве веса выступает доля пациентов в каждой

# группе

#======================================================================

weightData <- c(numInCont/numAll, numInCBT/numAll, numInFT/numAll )

meanData <- c(mean(anorexia[anorexia$Treat=="Cont",]$Prewt),

mean(anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt),

mean(anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt)

weighted.mean(meanData, weightData)

#======================================================================

# Результат вычисления средневзвешенного значения веса пациента

#======================================================================

[1] 82.40833

Полученные значения среднего и средневзвешенного веса пациентов отражают типичный уровень веса пациента в исследуемой группе, формирующийся под воздействием доминирующих неслучайных параметров. Установление неслучайных параметров, влияющих (в данном случае на вес пациента) на среднее значение, требует дальнейшего исследования данных с использованием соответствующих статистических критериев, в том числе критериев, позволяющих сравнивать средние величины (например, t-критерий Стьюдента). Оценка среднего отклонения отдельных значений (например, веса пациента) от среднего значения описывается с помощью среднего квадратического отклонения.