2. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

#================================================================

print(sdCP)

#================================================================

[1] 0.4803227

#================================================================

print(sdCBT)

#================================================================

[1] 0.4904568

#================================================================

print(sdBT)

#================================================================

[1] 0.4246912

2.1.3. Вычисление доверительного интервала

Вычислив значения выборочной средней величины (или средневзвешенной величины)См.: подраздел 2.1.1. Выборочное среднее.и среднего квадратического отклонения, можно построить доверительный интервал средней величины. Вычисление доверительного интервала для средней величины тесно связано с понятием доверительной вероятности, ошибки средней величины и предельной ошибкой выборки.

Доверительная вероятность определяет степень уверенности того факта, что измеренная величина находится в близи среднего значения. Средняя ошибка выборки показывает объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупностью, а предельная ошибка выборки – это ошибка выборки, исчисляемая с заданной степенью вероятности. Ошибка средней величины в выборке для количественного признака вычисляется по уравнению (8):

, (8)

где S – выборочное среднее квадратическое отклонение; N – количество исследований.

Ошибка средней величины для долей вхождения признака в данные также вычисляется по уравнению (8) с той лишь разницей, что вместо выборочного среднего квадратического отклонения в уравнение подставляется среднее квадратическое отклонение долей исследуемого признака (уравнение 5).

Предельная ошибка выборки вычисляется по уравнению (9):

Δ_lim = t * Δ, (9)

где значение t представлено в таблице 4.

Таблица 4 – Значение коэффициента t и доверительная вероятность для нормального закона распределения данных

В медицинских исследованиях доверительный интервал принимается равным (10)Херцог М., Френсис Г., Кларк А. [и др.]. Статистика и планирование эксперимента для непосвященных: как отучить статистику лгать. М.: ДМК Пресс, 2023. 174 с.:

X̅ ∓ 2 ∙ Δ_lim, (10)

где X̅ – среднее значение исследуемой величины; Δ_lim – предельная ошибка выборки исследуемой величины.

В случае оценки доли фактора и отклонения долей, величина доверительного интервала вычисляется по уравнению (11):

X̅ ∓ 2 ∙ Δ^e_lim,(11)

где X̅_e  – средняя  доля исследуемого признака, определенная по уравнению (3); Δ^e_lim – предельная ошибка выборки долей вхождения признака в данные.

На рисунке 6 изображено графическое представление доверительного интервала при условии данных, распределенных в соответствии с нормальным (Гауссовым) законом.

Рисунок 6 – Доверительный интервал (уравнение 10) выборочного среднего значения (расстояние от белой вертикальной линии до зеленой вертикальной линии)

Пример вычисления доверительных интервалов

На примере значений веса пациентов с подтвержденным диагнозом «анорексия» (набор данных anorexia пакета MASS) проведем анализ доверительных интервалов весов и долей пациентов в контрольной группе, группе с когнитивно-поведенческой терапией и в группе с назначенной семейной терапией.

Листинг 5

library(MASS) # Подключаем библиотеку, содержащую набор данных anorexia

library(ggplot2)

#==========================================================

# Выделяем из набора данных подгруппы пациентов с разным типом лечения

#==========================================================

contData <- anorexia[anorexia$Treat=="Cont",]$Prewt

cbtData <- anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt

ftData <- anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt

#==========================================================

# Вычисляем средние значения

#================================================================

meanCont <- mean(contData) # Средний вес в контрольной группе

meanCBT <- mean(cbtData) # Средний вес в когнитивно-поведенческой группе

meanFT <- mean(ftData) # Средний вес в группе семейной терапии

#===============================================================

# Вычисляем среднее квадратическое отклонение

#===============================================================

sdCont <- sd(contData)/(sqrt(length(contData))) # Среднее квадратическое

# отклонение веса в контрольной группе

sdCBT <- sd(cbtData)/(sqrt(length(cbtData))) # Среднее квадратическое отклонение

# веса в когнитивно-поведенческой группе

sdFT <- sd(ftData)/(sqrt(length(ftData))) # Среднее квадратическое отклонение

# веса в группе семейной терапии

#===============================================================