2. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

2.1.3. Вычисление доверительного интервала

Вычислив значения выборочной средней величины (или средневзвешенной величины)См.: подраздел 2.1.1. Выборочное среднее.и среднего квадратического отклонения, можно построить доверительный интервал средней величины. Вычисление доверительного интервала для средней величины тесно связано с понятием доверительной вероятности, ошибки средней величины и предельной ошибкой выборки.

Доверительная вероятность определяет степень уверенности того факта, что измеренная величина находится в близи среднего значения. Средняя ошибка выборки показывает объективно возникающее расхождение между характеристиками выборки и генеральной совокупностью, а предельная ошибка выборки – это ошибка выборки, исчисляемая с заданной степенью вероятности. Ошибка средней величины в выборке для количественного признака вычисляется по уравнению (8):

, (8)

где S – выборочное среднее квадратическое отклонение; N – количество исследований.

Ошибка средней величины для долей вхождения признака в данные также вычисляется по уравнению (8) с той лишь разницей, что вместо выборочного среднего квадратического отклонения в уравнение подставляется среднее квадратическое отклонение долей исследуемого признака (уравнение 5).

Предельная ошибка выборки вычисляется по уравнению (9):

Δ_lim = t * Δ, (9)

где значение t представлено в таблице 4.

Таблица 4 – Значение коэффициента t и доверительная вероятность для нормального закона распределения данных

В медицинских исследованиях доверительный интервал принимается равным (10)Херцог М., Френсис Г., Кларк А. [и др.]. Статистика и планирование эксперимента для непосвященных: как отучить статистику лгать. М.: ДМК Пресс, 2023. 174 с.:

X̅ ∓ 2 ∙ Δ_lim, (10)

где X̅ – среднее значение исследуемой величины; Δ_lim – предельная ошибка выборки исследуемой величины.

В случае оценки доли фактора и отклонения долей, величина доверительного интервала вычисляется по уравнению (11):

X̅ ∓ 2 ∙ Δ^e_lim,(11)

где X̅_e  – средняя  доля исследуемого признака, определенная по уравнению (3); Δ^e_lim – предельная ошибка выборки долей вхождения признака в данные.

На рисунке 6 изображено графическое представление доверительного интервала при условии данных, распределенных в соответствии с нормальным (Гауссовым) законом.

Рисунок 6 – Доверительный интервал (уравнение 10) выборочного среднего значения (расстояние от белой вертикальной линии до зеленой вертикальной линии)

Пример вычисления доверительных интервалов

На примере значений веса пациентов с подтвержденным диагнозом «анорексия» (набор данных anorexia пакета MASS) проведем анализ доверительных интервалов весов и долей пациентов в контрольной группе, группе с когнитивно-поведенческой терапией и в группе с назначенной семейной терапией.

Листинг 5

library(MASS) # Подключаем библиотеку, содержащую набор данных anorexia

library(ggplot2)

#==========================================================

# Выделяем из набора данных подгруппы пациентов с разным типом лечения

#==========================================================

contData <- anorexia[anorexia$Treat=="Cont",]$Prewt

cbtData <- anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt

ftData <- anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt

#==========================================================

# Вычисляем средние значения

#================================================================

meanCont <- mean(contData) # Средний вес в контрольной группе

meanCBT <- mean(cbtData) # Средний вес в когнитивно-поведенческой группе

meanFT <- mean(ftData) # Средний вес в группе семейной терапии

#===============================================================

# Вычисляем среднее квадратическое отклонение

#===============================================================

sdCont <- sd(contData)/(sqrt(length(contData))) # Среднее квадратическое

# отклонение веса в контрольной группе

sdCBT <- sd(cbtData)/(sqrt(length(cbtData))) # Среднее квадратическое отклонение

# веса в когнитивно-поведенческой группе

sdFT <- sd(ftData)/(sqrt(length(ftData))) # Среднее квадратическое отклонение

# веса в группе семейной терапии

#===============================================================

# Вычисление доверительных интервалов в группах

#===============================================================

upCont <- meanCont+2*sdCont # Верхняя граница доверительного интервала в

# контрольной группе

downCont <- meanCont-2*sdCont # Нижняя граница доверительного интервала в # контрольной группе #===============================================================

upCBT <- meanCBT+2*sdCBT # Верхняя граница доверительного интервала в

# группе с когнитивно-поведенческой терапией

downCBT <- meanCBT-2*sdCBT # Нижняя граница доверительного интервала в # группе с когнитивно-поведенческой терапией

#===============================================================

upFT <- meanFT+2*sdFT # Верхняя граница доверительного интервала в

# группе с семейной терапией

downFT <- meanFT-2*sdFT # Нижняя граница доверительного интервала в

# группе с семейной терапией

#===============================================================

# Построение графика средних значений и доверительных интервалов

#===============================================================

dataAn <- data.frame(Type = c("Cont", "CBT", "FT"), Mean=c(meanCont, meanCBT, meanFT), Sd = c(sdCont, sdCBT, sdFT))

#===============================================================

grPP <- ggplot(data = dataAn, mapping = aes(Type, Mean))

grPP <- grPP + geom_point(mapping = aes(Type, Mean),colour="blue",size=5)

grPP <- grPP + geom_errorbar(mapping = aes(ymin=Mean-2*Sd, ymax=Mean+2*Sd), colour="red",linewidth=1.5,width = 0.5)

grPP <- grPP + theme_light()

grPP <- grPP + theme(panel.border = element_rect(linewidth = 6, colour = "black"),

axis.title = element_text(size = 20, face = "bold",colour = "black"),

axis.text.x = element_text(size = 20, face = "bold",colour = "black"),

axis.text.y = element_text(size = 20, face = "bold",colour = "black"),

axis.ticks = element_line(linewidth = 3, colour = "black"),

legend.title = element_text(size = 20, face = "bold", color = "black"),

legend.text = element_text(size = 20, face = "bold", color = "black"))

grPP <- grPP + labs(x="Therapy type", y="Weight, kg") print(grPP)

#===============================================================

# Вывод графика

#===============================================================

На рисунке 7 изображено графическое представление средних значений веса с доверительными интервалами трех исследуемых групп пациентов до проведения терапии.

Рисунок 7 – Средние значения (синие кружочки) и доверительный интервал для доверительной вероятности 95,5 % (красные линии, нижние и верхние горизонтальные линии обозначают границы доверительных интервалов) веса пациентов в трех группах (Cont – контрольной группе; CBT – группе с назначенной когнитивно-поведенческой терапией; FT – с назначенной семейной терапией) до проведения терапии

На примере того же набора данных продемонстрируем вычисление вероятности нахождения пациента с определенным весом в определенной группе и вычислим доверительный интервал для этой вероятности.

Листинг 6

# Вычисляем количество пациентов до прохождения лечения

#==============================================================

lenPrewt <- length(anorexia$Prewt) #Общее количество данных

lenContPrew <- length(anorexia[anorexia$Treat=="Cont",]$Prewt) # Количество

# данных в контрольной группе

lenCBTPrewt <- length(anorexia[anorexia$Treat=="CBT",]$Prewt) # Количество

# данных в группе с когнитивно-поведенческой терапией

lenBTPrew <- length(anorexia[anorexia$Treat=="FT",]$Prewt) # Количество

# данных в группе с семейной терапией

#==============================================================

# Вычисляем доли пациентов в каждой группе

#==============================================================

pCP <- lenContPrew/ lenPrewt # Доля в контрольной группе

pCBTP <- lenCBTPrewt/ lenPrewt # Доля в когнитивно-поведенческой группе

pBTP <- lenBTPrew/lenPrewt # Доля в семейной группе

#==============================================================

sdCP <- sqrt (pCP*(1-pCP)) # Среднее квадратичное отклонение долей в

# контрольной группе

sdCBT <- sqrt(pCBTP*(1- pCBTP))

sdBT <- sqrt(pBTP*(1- pBTP))

#==============================================================

# Результаты вычисления

#==============================================================

dataAn <- data.frame(Type = c("Cont", "CBT", "FT"), Mean=c(pCP, pCBTP, pBTP), Sd = c(sdCP, sdCBT, sdBT))

#==============================================================