4. ФОРМУЛИРОВКА НУЛЕВОЙ ГИПОТЕЗЫ

Одним из подходов предварительной формулировки нулевой гипотезы является построение гистограмм распределения случайной величины. На рисунке 13 представлена гистограмма распределения абстрактной случайной величины X.

Рисунок 13 – Гистограмма распределения абстрактной случайной величины X

По виду диаграммы можно сделать предположение о близости типа распределения случайной величины к нормальному закону. Однако не стоит забывать о том, что данное предположение будет являться нулевой гипотезой, которая требует дальнейшей проверкиКендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966. 588 с..

Требование проверки нулевой гипотезы связано с особенностью построения гистограммы распределения случайной величины, а именно с выбором ширины интервалов, в которых подсчитывается число попаданий случайных значений. На рисунке 14 представлены изменения гистограммы случайной величины X (рисунок 13).

Рисунок 14 – Изменение вида гистограммы распределения случайной величины X в зависимости от выбора ширины интервалов, в которых подсчитывается количество случайных величин, попавших в данный интервал: а– Зауженный интервал; б – интервал увеличенной ширины; в – интервал средней ширины; г – широкий интервал

В результате предварительного анализа гистограммы, представленной на рисунке 14а, можно выдвинуть нулевую гипотезу о принадлежности распределения случайной величины X близко к дискретному типу распределения.

Результатом визуального анализа гистограммы, представленной на рисунке 14б, может служить постановка нулевой гипотезы о мультимодальности распределения случайной величины Х (в этом случае необходимо проверить сложную статистическую гипотезу; рассмотрение анализа сложных статистических гипотез выходит за рамки данных методических рекомендаций).

Анализ гистограммы, представленной на рисунке 14в, может стать основой для формулирования нулевой гипотезы о принадлежности распределения случайной величины к нормальному закону распределения.

Таким образом, гистограмма является точкой начала отсчета для формулировки нескольких нулевых гипотез, которые должны быть проверены различными статистическими критериями.

4.1. Расчет оптимального интервала на гистограмме

Расчет оптимального количества интервалов и диапазона значений, попадающих в интервал гистограммы распределения, является важной составляющей базовой статистики и может служить основой для выделения групп равномерно распределенных данных и выработки классификации на их основе. В данных методических рекомендациях рассматривается несколько простых подходов расчета оптимального количества интервалов и диапазона изменения значений. Первый подход основан на эвристической формуле Стерджесса (14)Herbert A. S. The choice of a class interval // Journal of the American statistical association. 1926. Vol. 21, №153. Р. 65–66.:

n = log₂ N + 1 = 3.33 ∙ log₁₀ N + 1, (14)

где N – объем анализируемой выборки (количество значений); n – количество интервалов разбиения данных.

В работеШторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970. 368 с., описывающей применение статистического анализа при контроле качества продукции, применяют уравнение Брукса–Каррузера (15):

n = 5 ∙ log₁₀ N, (15)

Наиболее простым методом оценки количества интервалов является (16)Heinhold I., Gaede K. W. Ingeniur statistic. München; Wien, Springler Verlag, 1964. 352 p.:

, (16)

При больших объемах данных рекомендуется использовать уравнение (17)Ченцов Н. Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы. М.: Наука, 1972. 520 с.:

, (17)

После расчета количества интервалов разбиения гистограммы распределения проводят вычисления ширины интервала по уравнению (18):

, (18)

где max(X) – максимальное значение исследуемой переменной X; min(X) – минимальное значение исследуемой переменной X; n – количество интервалов на гистограмме.

Соответственно, с использованием уравнения (18) вычисляются первый и последующие интервалы по уравнению (19):

X_i+1  = X_i + ∆X_hist, (19)

где X_i+1 – правая граница i-го интервала, не превышающая max(X); X_i – левая граница i-го интервала, начало отсчета которой равно min(X).

Высота столбца диаграммы определяется по уравнению (20):

, (20)

где N – общее количество исследований; N_i – количество исследований в i-м интервале; H_i – высота интервала.

Более точная (и она же более сложная) оценка размера интервала может быть получена при оценках статистической мощностиЛемешко Б. Ю., Чимитова Е. В. О выборе числа интервалов в критериях согласия типа c2// Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2003. Т. 69, №1. С. 61–67., данный подход не рассматривается в настоящих методических рекомендациях.